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本字幕由酷狗AI生成
原来是这样的样子
原来是这样的
友情提示
本期节目是原来是这样开播以来涉及公式和计算最多的一期广大文科生集还没进大学的朋友可选择性跳过其中的公式和计算
静静感受数学之美
即可根据节目需要状告人已将本期节目中主持人的数学能力进行了大幅提升
欢迎来到原来是这样
各位好
我是徐东
我是紫鳞
今天这期节目
大家如果看到标题的话就会觉得原来是这样
最近走偏了
嗯
打入了数学界
我好像从来没有打入过数学界吧
因为比较难是吗
说白了我们两个高考其实都是选文科的啊
对大学里还没上过高数的队
还要强行在这儿是你要强行在这儿说你有什么资格可以在这儿说数学那可以直接说一下今天节目咱们是有强力后援的
我们是有撰稿人的黑神小黑同学哇
他是毕业于国内某top 5 高校的一位同学数学能力非常的强
有坚强的后盾
所以我们敢和大家来聊数学了
今天其实要和大家聊的是从高中的时候
我们就接触过
但其实大家一直会不太明白这个东西它到底是什么意思
嗯怎么来的
对虚数虚数听着就像是一个虚无缥缈的不在现实生活当中实际存在的
这样的一个数字是八队在高中的时候老师就会觉得
你也别管它到底存不存在你会用就行了你会算就行了对吧
老师会说你不要去研究背后的道理
你只要会算老师告诉你的东西
你把它背出来就可以了
但是今天其实我们就想通过一整期的节目来告诉大家虚数它不仅仅是一个概念
其实他并不需
今天呢
我们将会以一个与中学里所学的不同的角度来引出虚数这个概念啊
在正式介绍叙述之前呢
我们还是需要花一点时间来简单的回顾一下数字家族发展的历程
紫林你先想想看最早被人们所使用的是什么书
那应该就是12345 这样整数对看着我们的手指基本上就能想到整数这样一个概念啊
准确的说应该是正整数也就是我们所说的自然数人类最早当然就是用自然数来计数的
那么在这个过程当中呢
进位制的发明
它具有里程碑式的意义
这就使得人们能够用有限的符号来表示任意一个自然数啊
因为人是十个手指头吗
所以说呢原始人在计算东西数量的时候最直接的方法就是掰自己的手指头利用自己的手指1234 啊
那么最早的进位制呢
也就是十进制十进制是这么来的
当然是这样的
因为手指头不够了
所以就再进一个就就哎
你看这是一个人的手用完了
再用一个人手哈
这啊
刚上来就有一个挺有意思的小知识
对这就是十进制的来历啊
那自然数出现了以后哈再出现的应该是分数吗
对你想分数它就不是很自然了
对不对我们有十个手指头
但是这分数是什么呢
把一个手指头砍掉一半吗
有点血腥啊
对那么随着人们对度量概念的增进啊
当体积重量等度量产生的时候分数便应运而生了
那个时候我们就会发现分数它是有必要存在的不仅仅是自然数了最初的时候的分数是被看作整体或一个单位的一部分
以后呢
才在运算过程当中产生了分数
他表示的就是两个整数的商这个其实在小学的时候接触过啊
由此我们可以看到分数的一个来源就是一个数
它不能够整除另一个数的时候便产生了分数A 6 除以二
这个没有问题
三对
但是三除以二呢三除以二就是一又1 /2 哈哈哈小学毕业了啊
好难啊
这里呢
作为中国人
咱们还是要强调一下的九章算术呢
是世界上系统叙述分数最早的著作
那么小数就是十进制分数
但是在欧洲啊
他其实很晚才被人们普遍接受第二点分数
中国人走在世界前面啊
但我觉得其实每一次往前走一步应该都有一个接受的过程
对对吧
最开始的时候
人们其实接受分数也是很困难的
凭啥有分数呢
对吧
树不是很完整的一个苹果呢
还2/3 个苹果
现在我们能接受这个概念之前你都没有这个重量概念的时候
你怎么去接受啊啊
那接收完了分数之后应该就是负数了吧
我们原来都觉得一个两个怎么对付一个复二
各是什么意思呢
其实啊
和我们通常人们所认识的
相反无理数的出现是要早于负数的那怎么可能公元前五世纪的时候
希腊人在研究几何的时候就发现边长为一的正方形
它的这个对角线的长度是不能够用整数或者是用两个整数之比来表示的
呃
根号二队啊
那么但是在当时呢无理数它只能够用几何的方法加以处理
硬是把数和几何分开啊
当时并没有这个根号这个概念啊
那么直到1886 年才有人证明每个无理数都能够表达成无限不循环的小数
这就给无理数做出了一个定义
包括我们现在最熟悉的派那就是典型的无理数
19 世纪后期呢
才建立了一个非常完整的无理数的理论体系哦
我刚才为什么说是负数呢
因为我记得我们以前学数学的这个过程啊
就接下来该学负数了
但没想到其实跟我们人类发现这些数字或者说是创造出这些数字的这个过程是不一样的错啊
我们学习的过程呢
一般是由浅入深的
但实际上人类对数字的使用则是基于实践的前面你提到的负数就是小于零的这个数
那么它的产生呢
则是诞生于私有制社会上升的时期
这个咱们怎么理解呢
这里要特别先说一下
因为我们后面将会详细的介绍
虚数儿虚数通常是在复述就是重复着复述这个框架内所研究的两个负数
呃
对
因为我们在这个广播里边儿大家为了区分方便啊
重复的付我们就叫他负数小于零的这个数
我们就管他叫做小于零的数负的这个负呢
我们就把这个负数叫做小于零的数就是我们所说的正数的相反数
称为小于零的数啊
现在呢
我们似乎对于小于零的数感觉已经司空见惯了
对吧
对吧
很自然嘛
对吧
这个确实存在吗
但事实上人们接受他花了非常长的时间
唉
其实也是啊
你说我们日常生活当中你说啊
我吃了一个苹果
两个苹果啊
我能接受我吃了半个苹果
但是负一的苹果是什么鬼呢
古人接触起来的确很困难
对当债务行为开始出现的时候
人们才意识到复数
它的确是存在的事啊
对不对我欠了你一个苹果啊
你欠我一个苹果啊
说好了
中世纪的印度人第一次运用它来表示负债到了15 世纪末期
德国数学家引入正号和负号来进行表示
那么数的概念
这一次呢
就进行了大幅度的扩展
这一次扩展呢
就和度量有方向的量如进退增减密切联系着
嗯
这句话有一点深奥的感觉
但是仔细想一想我们相当于是画了一根横的轴是吧
左边是小于零的数
右边是大于零的数
比如说是一根射线
现在变成了一根直线
而且其实它代表了进退和增减这样的概念啊
但是呢
这种小于零的数
其实当时你想这都已经到15 世纪末期了
其实在学术界一直没有被普遍的接受
到了16 世纪
正当欧洲数学家们还在纠结于小于零的数他到底算不算数的时候又有一种新的数被卷进了争议的漩涡
这一次就让大家彻底毁三观了
那就是小于零的数的平方根
呃
也就引出了我们今天的主题虚数
那我们首先问的就是虚数究竟是怎么产生的呢
对我们熟悉平方的朋友
大家都知道啊
两个数的平方肯定是一个正数对啊
那小于零的数它的平方根到底是什么呢
好像回到了高中的课堂啊
对我们来看一下叙述究竟是怎么产生的
当时人们就在想什么数的平方
它会小于零呢
1545 年的时候卡当在寻找二次项系数为零的一元三次方程的解的过程当中就发现由于小于零的数开平方所产生的新数与实数一起用原有的法则进行运算是一致的
而且如果引入这种心术就会出现一个很美妙的现象
那就是一元N次方呈他有N 个跟这样一个非常圆满的结果
你可能有点晕了
但我们在稍后也会提到其实还记得在高中的时候
其实有一个很重要的概念就是一的立方根
一的立方根在实数范围内
它只有一个一还是一啊
对啊
但其实拓展到复数范围内
它是有三个G 哦
对对对对我们拓展到复数范围内拓展到复数范围以后
突然觉得数字的这个世界又大了很多
你想立方它就变成三节了
对不对这一的平方根是不是两节
嗯
呵呵
大家都觉得我嗯得很牵强是不是其实我觉得听到这里啊
嗯和我第一次听到叙述的时候感觉是一样的
就是这好像是一个硬凑出来的概念
哎
就是数学游戏啊
上谈兵啊
就为了它存在而存在啊
强行给他找一个解
那么在163 7年笛卡尔呢
第一次给出了我们刚才说的这种概念虚数这样一个名称
18 世纪的时候大名鼎鼎的欧拉是提出了虚数单位的概念
并且他提出了一个非常著名的公式就是欧拉公式欧拉公式是什么
其实大家应该在一些地方看到过就是e 的X 次方等于扩散X
加上I 乘以3 X 当X 等于派时也就是一的ipad 次方加一等于零
那么它就将数学当中最重要的五个常数用简单的加法联系在一起了
我们来看一下一
然后上面写一个ipad
这就是一的ipad 次方加上一之后竟然等于零
那么正因为它的这种奇妙的联系
很多人也觉得这是世界上最完美的一个共识
嗯
我觉得这期节目应该一边听一边要记一下脾气实在是就这样单听啊
可能会有点云里雾里所以可以稍微纸上稍微写一下大家可以来看一下这个公式美在哪
你想一是一个无理数对不对他也是一个无理数对他是个虚数单位对
但是通过计算以后再加个一竟然归零了
对觉得很神奇吧
是啊
这其实是一个文科生都会惊叹于数学之美的公式
但是呢
在复数的几何表示
发现以前虚数依然是给人一种虚无缥缈的感觉
到了180 6年
数学之王高斯提出应用平面上的点来对应复数
这才使得虚数有了直观的意义
并且呢
它就系统地建立了复数的理论和研究方法
这样人们才开始承认哦
虚数它并不需注意到了吗
我们其实提到了一个很重要的概念
就是平面对就像我们刚刚说到的正数自然数
它是一个射线
然后后来有了这个负数以后呢
就变成了一条直线
然后可以两头延伸的对吧
现在呢
我们就出现了一个平面就又出现了一根轴
其实对对吧
我们所说的那个虚轴对虚轴两个直线回到了我们当年四维的那个概念啊
两个直线
它其实就确定了一个平面那么这样一来呢数的概念就从原来的一根轴一根线变成了一个平面a
那这样子给一个负数
确定了一个坐标
这个对后来的理论产生了什么样的影响呢
我们想象一下
有这样一条数轴啊
竖轴上的一个点
代表了什么代表一个实数没错啊
这个原点就是零对吧
对我们取任何一个点
他总能代表一个数
这个大家没有问题啊
那么在数轴上的一个正数与它的相反数之间的关系呢
相反数应该还记得吧
就是一一的相反数就是负隅他们位于原点的两侧
并且到原点的距离是相等的
二就是负二三就是负三距离是一样的
是对称的没错啊
这样理解当然是正确的
但是现在其实我们不仅仅是在一根线上思考问题了啊
如果说我们的目光不局限在数轴之上的话
那么一个数对应的点与原点的连线绕原点旋转180 度之后是不是就落到了它相反数的位置上对啊
但是这
和平面上的点来对应复数有什么关系呢
我们想一想啊绕原点旋转了180 度之后变成相反数
那么如果我们回到数学上它是不是就相当于乘以负一对啊
那么如果我们假设旋转一个角度
就相当于乘以一个数的话
其实我们后面会说这个假设它实际是成立的啊
我们把这个过程分成两步来进行那就是每一步旋转90 度
那么是不是相当于乘以某一个数两次最终的效果跟乘以负一相同
哦
我知道你的意思了
就是一乘以X 就是旋转的这个角度是吧
一次90 度吗
一乘以X 乘以X 就等于负一那就是说这个数的平方等于负一嗯哦
这个数的平方等于负一
那这个数是不是就是我们所说的爱了
哦
那
所以这个爱就有实际的意义了
是吗
对其实在叙述的概念当中
或者说是负数的这个概念当中其实很重要的一个思想就是旋转
嗯
我觉得这一段可能还是需要我们慢慢的再来一遍啊
怕有的朋友可能没有跟上啊
想一想一我们旋转了180 度绕着这个零旋转绕着这个原点旋转180 度
那就对应到了负一
那么这个过程我们可以理解为一乘以负一对吧
对那么乘以负一这个概念
我们可以把它和绕原点旋转180 度联系在一起
这里要注意的是
一定是绕着原点旋转
那么如果说我们要把这个步骤分成两次
我们旋转90 度
再旋转90 度
那么旋转的概念就相当于乘一个数的话
那就得到了林刚才说的一乘以X 乘以X 等于负一嗯
这个部分因为特别的重要
对吧
所以在节目开始之前呢
旭东已经给我画过一个轴让我理解了一下这件事情哈
其实我们就是画一个数轴
一个实轴一个虚轴就是一个X 轴
一个Y 轴
然后呢
我们一个一一个负一
其实从一到负一是旋转了180 度是一个逆时针旋转
大家可以画一下哈
然后呢
如果是这样的一个动作
我们说它是负一的话
我们是可以把这个动作拆解成两步走一步是逆时针旋转90 度一不是在逆时针旋转90 度
那其实就是这两个相乘
大家可以注意一下逆时针绕原点
旋转90 度之后
这个点落到了哪是不是就在虚轴上的爱这个位置
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